在数字信号的调制中，AWGN信道下，星座图一般是采用gray code
进行编码。
本文讲述格雷码的概念及其分析在星座图中格雷编码映射的必要性，最后给出其Python
代码实现。
格雷码
先了解一下gray code
的概念：格雷码是二进制数字系统的一种排序方式，使得两个连续值在比特级别上仅仅相差一位。
例如：十进制的1
在自然二进制中的表示通常为001，而2将被编码为010。对应的格雷码为001和011。这样，将一个值从1递增至2
对应的编码仅仅需要更改一位比特，而不是两位。
格雷码广泛用于数字通信系统中的纠错1。
\(k\)
位二进制数的格雷码序列可以当作 \(k\)
维空间中的一个超立方体（二维里的正方形，一维里的单位向量)顶点的哈密尔顿回路，其中格雷码的每一位代表一个维度的坐标。
格雷星座映射
在QAM等数字调制方案中，数据通常以4
位或更多位的符号传输，信号的星座图被安排为使得相邻星座点传送的位模式仅相差一位。通过将其与能够纠正单个比特错误的信道编码结合，接收器可以纠正任何导致星座点偏离到相邻点区域的传输错误。这使得传输系统不易受噪声影响。
例如4QAM信号，其自然映射和格雷星座映射为:
:--:
:--:
:--:
:--:
数据比特
十进制
自然映射
格雷映射
00
0
-1-1j
-1-1j
01
1
-1+1j
-1+1j
10
2
1+1j
1-1j
11
3
1-1j
1+1j
假设AWGN信道下，某码元发送10
数据比特，接收端采用最大似然判决 \(y=x+n\), \(\hat{x}=\arg\min_x ||y-x||\)
，采用不同映射，有以下情形：
自然：对应发送1+1j ，有\(P_1\)
的概率被判决为1-1j(即判为11,误比特数1个),
\(P_1\)的
概率被判决为01（误比特2个）,\(P_2(P_2 的概率被判决为00(误比特1个) ，那么平均误比特\(3P_1+P_2\) 个 格雷：对应发送1-1j,\(P_1\) 的概率判决为11和00，均误比特1个，\(P_2\)的概率判为01,误比特\(2P_1+2P_2\) \(3P_1+P_2>2P_1+2P_2\) 发送其余数据比特时，情形类似。可以发现AWGN信道下格雷映射方案的BER性能是优于自然映射的。相比于正常二进制映射，使用格雷码可以降低总体错误率。这也是星座映射采用格雷映射的原因。 格雷码的构造2 我们观察以下 \(n\) 维的二进制和其格雷码 \(G(n)\)。如果 \(G(n)\) 的二进制第 \(i\) 位为1，仅当 \(n\) 的二进制第 \(i\) 位为 1,第\(i+1\) 位为 \(0\) 或者 第\(i\) 位为 0 ,第 \(i+1\) 位为 1。于是可以当成一个异或运算： \[G(n)=n\oplus \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\] 1int g(int n) { return n ^ (n >> 1); } 代码实现 二维QAM格雷映射基于这样一种思想: 如果每一维是格雷映射的，那么他们的笛卡尔积也是格雷的。即两个gray mapping 的PAM映射组合起来就是QAM gray mapping. 二维的PSK gray mapping 和一维PAM gray mapping 类似。 点击左侧三角可展开代码 Python 实现 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273import numpy as npdef qam_constellation(M,normalize=False): """ M must be 2^k ,where k is an even integer gray mapping param: - M: the size of qam set - normalize: normalize the average energy qam symbols unit return: 1-D numpy array """ assert np.log2(M).is_integer() m = int(np.sqrt(M)) x = np.zeros(m,np.int32) # gray mapping binding to natural number y = np.zeros(m,np.int32) # mappping natural number to gray code in octal natural2gray = lambda x: x ^ (x >> 1) x[natural2gray(np.arange(0, m))] = np.arange(0, 2*m,2) -m+1 y[natural2gray(np.arange(0, m))] = np.arange(0, 2*m,2) -m+1 constellation = np.zeros((m, m), dtype=np.cfloat) for i in range(m): for j in range(m): constellation[i][j] = (x[i]+1j* y[j]) if normalize: return constellation.flatten()/(np.linalg.norm(constellation)/m) else: return constellation.flatten()def psk_constellation(M): """ gray mapping param: - M: the size of psk set - normalize: normalize the average energy qam symbols unit return: 1-D numpy array """ phase = np.arange(0, M) * 2 * np.pi / M constellation = np.zeros(M, dtype=np.cfloat) natural2gray = lambda x: x ^ (x >> 1) constellation[natural2gray(np.arange(0, M))] = np.exp(1j * phase) return constellationdef mapping(data, constellation): """ param: - data: binary data in 1-D numpy array - constellation: 1-D numpy array return: 1-D numpy array """ M = len(constellation) assert np.log2(M).is_integer() assert len(data) % np.log2(M) == 0 data = data.reshape(-1, int(np.log2(M))) mask = np.array([2**i for i in range(int(np.log2(M))-1, -1, -1)]) # [8,4,2,1] index = np.sum(data * mask, axis=1) # left first return constellation[index]if __name__ == "__main__": qam_16 = qam_constellation(16) psk_4 = psk_constellation(4) print(qam_16) print(psk_4) binary_data = np.random.randint(0, 2, 128) psk_symbols = mapping(binary_data, psk_4) qam_symbols = mapping(binary_data, qam_16) print(psk_symbols) print(qam_symbols) gray code wiki↩︎ 格雷码↩︎